| Sistemas de Numeração Não Decimais |
| Sistemas de Numeração Posicional |
O método que conhecemos para escrever os números utiliza um sistema de
numeração posicional. Isso significa que a posição ocupada por cada
algarismo em um número altera seu valor.
Por exemplo; Em nosso sistema usual de numeração - sistema decimal ,
utilizamos um total de 10 algarismos, a saber : 0 ,1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 e 9,
por isso, afirmamos que trabalhamos na base 10 de numeração, pois
utilizamos um total de 10 algarismos.
Quando escrevemos o número 374, sabemos que o algarismo 3 representa
300 unidades, 30 dezenas ou 3 x 10
2 unidades, o algarismo 7 representa
70 unidades, 7 dezenas ou 7 x 10
1 unidades e o 4 representa 4 unidades
ou 4 x 10
0 unidades.
Assim, podemos escrever :
374 = 3 x 10
2 + 7 x 10
1 + 4x10
0
| Base de um Sistema de Numeração |
A base de um sistema de numeração é a quantidade de algarismos utilizados para
a escrita de todos os números. O sistema de base 10 é usualmente empregado em
nosso dia-a-dia, embora não seja a única base de numeração utilizada.
Quando adquirimos uma dúzia de laranjas, duas dúzias de rosas, cinco dúzias de
bananas ou uma grosa ( doze dúzias ) de parafusos estaremos trabalhando na
base duodecimal (base 12) de numeração.
Quando marcamos o tempo em dias, horas, minutos e segundos estamos
trabalhando com a
base 60 de numeração, ou na
base sexagesimal.
Os computadores utilizam a
base 2 ( sistema binário ) e os programadores, por
facilidade, usam em geral uma base que seja uma potência de 2, tal como 64
(base 16 ou sistema hexadecimal) também a base
8 = 23 sistema octal ou
octagenário
| Explicação Gráfica de um Sistema de Numeração |
No quadro abaixo, temos 43 unidades. Vamos contá-las em alguns sistemas de
numeração.
No Sistema Decimal contamos de dez em dez e sabemos que cada 10 unidades de
1ª ordem equivalem a 1 unidade de 2ª ordem. Cada 10 unidades de 2ª ordem
equivalem a 1 unidade de 3ª ordem. Cada 10 unidades de 3ª ordem equivalem a
1 unidade de 4ª ordem, e assim sucessivamente
No sistema decimal contamos de 10 em 10. Com isso formamos 4 grupos de 10 e
mais 3 unidades. E dessa forma 43 unidades será representada como: 4 grupos
de 10 ( dezenas ) + 3 unidades = 43
(10)
| Sistema de Base 2 ( Sistema Binário ) |
No
Sistema Binário contamos de dois em dois e sabemos que cada 2 unidades de
1ª ordem equivalem a 1 unidade de 2ª ordem. Cada 2 unidades de 2ª ordem
equivalem a 1 unidade de 3ª ordem. Cada 2 unidades de 3ª ordem equivalem a
1 unidade de 4ª ordem, e assim sucessivamente.
No sistema binário contamos de 2 em 2. Com isso formamos 21 grupos de 2 e mais
1 unidade. Como cada dois grupos desses 21 grupos formam uma unidade de ordem
superior, teremos 21 : 2 = 10 unidades de terceira ordem e uma unidade de segunda
ordem de resto. Como cada dois grupos desses 10 grupos formam uma unidade de
ordem superior, teremos 10 : 2 = 5 unidades de quarta ordem e zero unidades de
terceira ordem. Como cada dois grupos desses 5 grupos formam uma unidade de
ordem superior, teremos 5 : 2 = 2 unidades de quinta ordem e uma unidade de
quarta ordem. Como cada dois grupos desses 2 grupos formam uma unidade de
ordem superior, teremos 2 : 2 = 1 unidade de sexta ordem e zero unidades de
quinta ordem.
Dessa forma : 43
(10) = 101011
(2)
| Sistema de Base 3 ( Sistema Ternário ) |
No
Sistema Ternário contamos de três em três e sabemos que cada 3 unidades de
1ª ordem equivalem a 1 unidade de 2ª ordem. Cada 3 unidades de 2ª ordem
equivalem a 1 unidade de 3ª ordem. Cada 3 unidades de 3ª ordem equivalem a
1 unidade de 4ª ordem, e assim sucessivamente.
![]()
(10) = 1121
(3)
| Sistema de Base 4 ( Sistema quaternário ) |
No
Sistema Quaternário contamos de quatro em quatro e sabemos que cada
4 unidades de 1ª ordem equivalem a 1 unidade de 2ª ordem. Cada 4 unidades de
2ª ordem equivalem a 1 unidade de 3ª ordem. Cada 4 unidades de 3ª ordem
equivalem a 1 unidade de 4ª ordem, e assim sucessivamente.
No sistema quaternário contamos de 4 em 4. Com isso formamos 10 grupos de 4 e
mais 3 unidades. Como cada 4 grupos desses 10 grupos formam uma unidade de
ordem superior, teremos 10 : 4 = 2 unidades de terceira ordem e 2 unidades de
segunda ordem de resto. Como cada 3 grupos desses 4 grupos formam uma
unidade de ordem superior, teremos 4 : 3 = 1 unidades de quarta ordem e uma
unidade de terceira ordem.
Dessa forma : 43
(10) = 223
(4)
| Sistema de Base 8 ( Sistema octal ou octagenário) |
No
Sistema de base oito contamos de oito em oito e sabemos que cada 8 unidades
de 1ª ordem equivalem a 1 unidade de 2ª ordem. Cada 8 unidades de 2ª ordem
equivalem a 1 unidade de 3ª ordem. Cada 8 unidades de 3ª ordem equivalem a 1
unidade de 4ª ordem, e assim sucessivamente.
No sistema octal contamos de 8 em 8. Com isso formamos 5 grupos de 8 e mais
3 unidades. Como a quantidade 5 grupos é inferior a 8, já concluímos a
transformação solicitada.
Dessa forma : 43(10) = 53(8)
Quando escrevemos numa base diferente da decimal, grifamos o número com um
índice que determina a sua base de numeração. Sempre que um número for
apresentado sem índice que indique sua base de numeração, entenderemos que
a base é dez. Sempre que outra base for utilizada, essa base terá de ser,
obrigatoriamente, indicada.
Se o número ABC estiver escrito na base n, escreveremos : ABC
(n) ou ABC
n ou (ABC)
n
Na base 10, dispomos de 10 algarismos para a representação do número:
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9.
Na base 2 utilizamos apenas 2 algarismos: 0 e 1.
Exemplo: 1001
(2) ; 100010101
(2)
Na base 4 utilizamos apenas os 4 primeiros algarismos: 0, 1, 2 e 3.
Exemplo: 3201
(4) ; 22031
(4)
Na base 7 utilizamos os 7 primeiros algarismos: 0, 1, 2, 3, 4, 5 e 6.
Exemplo: 562
(7) ; 3405
(7)
Na base 8, seriam os 8 primeiros os algarismos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.
Exemplo: 753
(8) ; 6714
(8)
Na base 16, seriam os 10 algarismos usados na base 10 e mais os símbolos
A, B, C, D, E e F, representando respectivamente 10, 11, 12, 13, 14 e 15 unidades.
Exemplo: 9AE0
(16) ; 84CD
(16)
De um modo geral, temos que uma
base b qualquer utilizará
b algarismos, onde
b
varia entre
0 e
b - 1.
| Mudança da Base Decimal para uma Base Qualquer |
Para transformarmos da base decimal para uma base qualquer devemos dividir
sucessivamente o número e a seguir os quocientes obtidos pelo algarismo
representativo dessa base até que a divisão não seja mais possível.
Só um exemplo tornará mais clara essa definição.
Exemplo 01 - Transforme para a base 5 o número 269. Como a base 5 trabalha em
grupos de 5, devemos dividir, sucessivamente, essas 269 unidades por 5.
ou dessa forma, mais prática
E lendo o número de trás para frente, e considerando, apenas o último quociente
e os demais restos, teremos a nossa solução:
269 = 2034
(5)
Esse número não pode ser lido como dois mil e trinta e quatro na base cinco, já que
essa leitura é específica da base decimal. O correto será: dois, zero, três, quatro na
base cinco.
Exemplo 02 - Transforme para a base 8 o número 531. Como a base 8 trabalha em grupos de 8, devemos dividir, sucessivamente, essas
531 unidades por 8.
ou dessa forma, mais prática
E lendo o número de trás para frente, e considerando, apenas o último quociente e os demais restos, teremos a nossa solução:
531 = 1023
(8)
Esse número não pode ser lido como mil e vinte e três na base oito, já que essa leitura é específica da base decimal. O correto será:
um, zero, dois, três na base cinco.
Exemplo 03 - Transforme para a base 2 o número 97. Como a base 2 trabalha em grupos de 2, devemos dividir, sucessivamente, essas
97 unidades por 2.
E lendo o número de trás para frente, e considerando, apenas o último quociente e os demais restos, teremos a nossa solução:
97 = 1000011
(2)
Como já sabemos, esse número deverá ser lido como: um, zero, zero, zero, zero, um, um na base dois.
Exemplo 04 - Transforme para a base 12 o número 1579, considerando A = 10 e B = 11. Como a base 12 trabalha em grupos de 12,
devemos dividir, sucessivamente, essas 1579 unidades por 12.
E lendo o número de trás para frente, e considerando, apenas o último quociente e os demais restos, e, também, lembrando que
A = 10 e B = 11, teremos a nossa solução: 1579 = AB7
(12)
| Mudança de uma Base Qualquer para a Base Decimal |
1° Método: Para transformarmos o número, de n algarismos, ABC...YZ escrito numa base b para a base decimal, teremos:
A . b
(n - 1) + B . b
(n - 2) + C . b
(n - 3) + D .b
(n - 3) + ....... + X . b
2 + Y . b
1 + Z . b
0
Só um exemplo tornará mais clara essa transformação.
Exemplo 05 - Transforme para a base decimal o número 1246
(7).
Se o número possui 4 algarismos, a primeira potência de 7 terá o expoente 4 - 1 = 3, assim :
1 . 7
(4 - 1) + 2 . 7
(4 - 2) + 4 . 7
(4 - 3) + 6 . 7
(4 - 4) = 1 . 73 + 2 . 72 + 4 . 71 + 6 . 70 = 343 + 98 + 28 + 6 = 475
Exemplo 06 - Transforme para a base decimal o número 302
(4).
Se o número possui 3 algarismos, a primeira potência de 4 terá o expoente 3 - 1 = 2, assim :
3 . 4(3 - 1) + 2 . 4(3 - 2) + 2 . 4(3 - 3)= 3 . 42 + 2 . 41 + 2 = 3 . 16 + 2 . 4 + 2 = 48 + 8 + 2 = 58
2° Método: Para transformarmos um número escrito numa base b para a base decimal, podemos aplicar o método Prático:
"Desce multiplicando e sobe somando". Apliquemos esse método:
Exemplo 07 - Transforme para a base decimal o número 652
(8)
Sempre começamos pelo algarismo da esquerda. Ele desce multiplicando pela base 8 ==> 6 x 8 = 48 e sobe somando pelo próximo
algarismo: 48 + 5 = 53 e o processo continua: o resultado 53 desce multiplicando pela base 8 ==> 53 x 8 = 424 e sobe somando com
o próximo e último algarismo: 424 + 2 = 426.
Assim 652
(8) = 426
(10)
Exemplo 08 - Transforme para a base decimal o número 10212
(3)
Sempre começamos pelo algarismo da esquerda. Ele desce multiplicando pela base 3 ==> 1 x 3 = 3 e sobe somando pelo próximo
algarismo: 3 + 0 = 3 e o processo continua: o resultado 3 desce multiplicando pela base 3 ==> 3 x 3 = 90 e sobe somando com o
próximo 2 ==> 9 + 2 = 11 e e sobe somando pelo próximo algarismo: 11 x 3 = 33 + 1 = 34 ...... 34 x 3 = 102 + 2 = 104
Assim 10212
(3) = 104
(10)
3° Método: Para transformarmos um número escrito numa base b para a base decimal, podemos
aplicar um segundo método Prático: Método das sucessivas divisões. Esse algoritmo é a aplicação contrária do método para a
transformação da base decimal para uma base qualquer. Apliquemos esse método:
Exemplo 09 - Transforme para a base decimal o número 7182
(9)
Se o número possui quatro algarismos, faremos três divisões sucessivas com o divisor 9 e escreveremos o número 7182 de baixo para
cima, o algarismo 7 será o último quociente e os demais algarismos serão os restos. Assim :
Com isso , teremos que : 7182
(9) = 5.258
(10) = 5.258
Exemplo 10 - Transforme para a base decimal o número 345
(6)
Se o número possui três algarismos, faremos duas divisões sucessivas com o divisor 6 e escreveremos o número 345 de baixo para
cima, o algarismo 3 será o último quociente e os demais algarismos serão os restos. Assim :
Com isso , teremos que : 345
(6) = 137
(10) = 137
Exemplo 11 - Transforme para a base decimal o número AB3G8
(16)
Se o número possui cinco algarismos, faremos quatro divisões sucessivas com o divisor 16 e escreveremos o número AB3E8 de baixo
para cima, o algarismo A será o último quociente e os demais algarismos serão os restos. Não podemos esquecer que na base 16,
temos : A = 10 ; B = 11 ; C = 12 ; D = 13 ; E = 14 e F = 15. Assim :
Com isso , teremos que : AB3G8
(16) = 701 416
(10) = 701.416
Observação Importante: Quando transformamos um número na base decimal para uma base menor que 10, o número, se lido na base
decimal será sempre maior que o correspondente decimal.
Exemplo : 345
(6) = 137(10)
345
(10) > 137
(10)
Mudança de uma Base não-decimal para uma Base não-decimal.
Nesse caso transformamos o número inicial para a base decimal e transformamos dessa para a base não decimal solicitada
Exemplo 11 - Transforme para a base 8 o número 4312
(5).
1ª Etapa: Vamos transformar 4312
(5) para a base decimal.
Se o número possui 4 algarismos, a primeira potência de 5 terá o expoente 4 - 1 = 3, assim :
4 . 5
(4 - 1) + 3 . 5
(4 - 2) + 1 . 5
(4 - 3) + 2 . 5
(4 - 4) = 4 . 53 + 3 . 52 + 1 . 51 + 2 . 50 = 500 + 75 + 5 + 2 = 582
2ª Etapa:Vamos transformar 582
(10) para a base 8.
E lendo o número de trás para frente, e considerando, apenas o último quociente e os demais restos, teremos a nossa solução:
582 = 1106
(8) e 4312
(5) = 1106
(8)
Exemplo 12 - Transforme para a base 7 o número 10010
(2).
1ª Etapa: Vamos transformar 10010
(2) para a base decimal.
Se o número possui 5 algarismos, a primeira potência de 2 terá o expoente 5 - 1 = 4, assim :
1 . 2
(5 - 1) + 0 . 2
(5 - 2) + 0 . 2
(5 - 3) + 1 . 2
(5 - 4) + 0 . 2
(5 - 5) = 1 . 16 + 0+ 0 + 2 + 0 = 18
2ª Etapa: Vamos transformar 18
(10) para a base 7.
E lendo o número de trás para frente, e considerando, apenas o último quociente e o único resto, teremos a nossa solução:
18 = 24
(7) e 10010
(2) = 24
(7)
Exercícios Propostos
I - Transforme para a base binária ( base 2 ).
| 01) | 29 | 02) | 47 | 03) | 75 | 04) | 123 |
II - Transforme para a base ternária ( base 3 ).
| 05) | 23 | 06) | 34 | 07) | 69 | 08) | 158 |
III - Transforme para a base quaternária ( base 4 ).
| 09) | 47 | 10) | 51 | 11) | 98 | 12) | 183 |
IV - Transforme para a base 5.
| 13) | 61 | 14) | 87 | 15) | 129 | 16) | 266 |
V - Transforme para a base 6.
| 17) | 78 | 18) | 93 | 19) | 145 | 20) | 297 |
VI - Transforme para a base 7.
| 21) | 29 | 22) | 72 | 23) | 161 | 24) | 328 |
VII - Transforme para a base octal ( base 8 ).
| 25) | 36 | 26) | 189 | 27) | 377 | 28) | 675 |
VIII - Transforme para a base 9.
| 29) | 98 | 30) | 107 | 31) | 783 | 32) | 1.044 |
IX - Transforme para a base 12, sendo A = 10 ; B = 11 .
| 33) | 1.143 | 34) | 1.709 | 35) | 18.993 |
X - Transforme para a base 14, sendo A = 10 ; B = 11 ; C = 12 e D = 13.
| 36) | 1.132 | 37) | 4.880 | 38) | 37.866 |
XI - Transforme para a base 16, sendo A = 10 ; B = 11 ; C = 12 ; D = 13 ; E = 14 ; F = 15.
| 39) | 1.020 | 40) | 32.228 | 41) | 43.981 |
XII - Transforme para a base decimal.
| 42) | 1011(2) | 43) | 110101(2) | 44) | 1010111(2) | 45) | 120(3) |
| 46) | 2132(4) | 47) | 3301(4) | 48) | 4032(5) | 49) | 451(6) |
| 50) | 5264(7) | 51) | 753(8) | 52) | 1641(8) | 53) | 5834(9) |
| 54) | 2A5A(11) | 55) | 7AAB(12) | 56) | ACB(15) | 57) | 50AF(16) |
XIII - Transforme para a base solicitada.
| 58) | 132(4) = ..................... (2) | 59) | 10110(2) = ..................... (7) | 60) | 1432(5) = ..................... (8) |
| 61) | 645(7) = ..................... (12) | 62) | 1402(8) = ..................... (16) | 63) | ACD1(16) = ................... (3) |
64) Em que base de numeração o número 216, escrito na base decimal, é representado por 1000 ?
65) Em que base de numeração o número 324, escrito na base sete, é representado por 131 ?
66) Determine o valor de M, de tal maneira que MMMM(4) = 255 ?
67) Determine a representação de P = 14654(b), na base b+1 ?
68) Em que base de numeração o cubo de 12 é igual a 1750 ? base 8
69) Quantos números de 3 algarismos existem na base 9 ?
70) Quantos algarismos serão utilizados para numerarmos, na base 7, as 65 páginas de um livro ?
71) Em paginar um livro no sistema de base 5, um aluno encontrou 146 algarismos. Quantas são as páginas desse livro ?
72) Escreva na base 2x o número 4444(x)
Questões de Concurso
73) ( CEFET RJ ) Escrevendo o número 324 num sistema de base 3 obtemos :
| a) | 110000 | b) | 101110 | c) | 122010 | d) | 210010 | e) | 112110 |
74) ( CEFET RJ ) A data 25 / 11 / 89. se for escrita no sistema de base 8, será :
| a) | 30 / 10 / 70 | b) | 13 / 31 / 131 | c) | 31 / 13 / 131 | d) | 31 / 13 / 113 | e) | 52 / 11 / 78 |
75) ( CEFET RJ ) Escreva o numeral 745 no sistema de base 16, sabendo que, nesse sistema, os símbolos são
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F.
| a) | A4B5 | b) | 2E9 | c) | 2BA1 | d) | 21CD | e) | 1EF |
76) ( F.C.Chagas ) Num sistema de numeração de base 4, faz-se a contagem do seguinte modo :
1, 2, 3, 10, 11, 12, 13, 20, 21, 22, 23, 30 ... O número 42 no sistema de base 4 é composto de :
| a) | 4 algarismos iguais | b) | 3 algarismos iguais | c) | 2 algarismos iguais |
| d) | 3 algarismos distintos | e) | 2 algarismos distintos |
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