| Casos Simples de Fatoração Algébrica |
Como já aprendemos na Aritmética, todo número, não primo, pode ser decomposto
em um produto de fatores primos. Assim, tem-se:
30 = 2 X 3 X 5 ; 72 = 8 x 9 = 2 x 2 x 2 x 3 x 3 = 2
3 x 3
2
Da mesma forma, podemos decompor algumas expressões algébricas em fatores.
Assim, por exemplo : a
2 - b
2 = (a+b) (a - b) ; a
2 + 2ab + b
2 = (a + b)
2 ;
12a
2b
3 - 18ab
2 = 6ab
2(2ab - 3)
O processo pelo qual transformamos uma adição algébrica em um produto
algébrico denominamos fatoração algébrica, ou simplesmente, fatoração.
No estudo da fatoração são conhecidos vários casos. Vamos estudá-los,
classificando-os, para uma melhor compreensão.
| Primeiro Caso de Fatoração : Evidenciação |
Consideremos o polinômio 6ax
2 - 4ax
3 + 2ax, que pode ser escrito como :
(2ax).(3x) - (2ax).(2x) + (2ax).(1). Percebemos que o fator 2ax esta presente em todos
os termos do polinômio. 2ax é o fator comum e deverá ser colocado em evidência.
Assim : 6ax
2 - 4ax
3 + 2ax = (2ax) (3x - 2x
2 + 1)
Exemplo 01) Fatorar o polinômio 7m
2p
4 - 14m
3p
2 + 21m
4p
3
Colocando o fator comum 7m
2p
2 em evidência, teremos :
7m
2p
4 - 14m
3p
2 + 21m
4p
3 = 7m
2p
2 ( p
2 - 2m + 3m
2p)
Exemplo 02) Fatorar o polinômio 2m
3(a - b) + 8m
2( a - b)
Colocando o fator comum 2m
2(a - b) em evidência, teremos :
2m
3(a - b) + 8m
2( a - b ) = [2m
2(a - b)] ( m + 4) = 2m
2(a - b)( m + 4)
.
| Segundo Caso de Fatoração : Trinômio Quadrado Perfeito |
Já aprendemos em produtos notáveis que :
(a + b)
2 = a
2 + 2ab + b
2 e (a - b)
2 = a
2 - 2ab + b
2
O que faremos agora é transformarmos a soma algébrica a
2 ± 2ab + b
2 em sua
forma fatorada (a ± b)
2. E para tal precisamos compreender que um trinômio será
quadrado perfeito quando possuir dois de seus três termos quadrados e o terceiro
sendo igual ao dobro do produto entre as raízes quadradas dos termos quadrados.
Exemplo 03) Se possível, fatore o polinômio 4m
2 + 12mn
2 + 9n
4
O polinômio possui dois termos quadrados 4m
2 e 9n
4, e cujas raízes quadradas
são, respectivamente, 2m e 3n
2. O dobro do produto entre essas raízes é
exatamente igual ao terceiro termo 12mn
2.
E dessa forma o polinômio 4m
2 + 12mn
2 + 9n
4 é um trinômio quadrado perfeito
e pode, portanto ser fatorado.
A raiz quadrada do primeiro termo quadrado é 2m, a raiz do segundo termo
quadrado é 3n
2 e o sinal que os une será o sinal do terceiro termo + 12mn
2.
Dessa forma, teremos : 4m
2 + 12mn
2 + 9n
4 = ( 2m + 3n
2)
2
Exemplo 04) Se possível, fatore o polinômio 16x
4 + 36x
2y
3 + 25y
6
O polinômio possui dois termos quadrados 16x
4 e 25y
6, e cujas raízes quadradas
são, respectivamente, 4x
2 e 5y
3. O dobro do produto entre essas raízes é igual a
40x
2y
3 que é diferente do terceiro termo 36x
2y
3.
E dessa forma o polinômio 16x
4 + 36x
2y
3 + 25y
6 não é um trinômio quadrado
perfeito e não pode, portanto, ser fatorado, pelo menos como um trinômio
quadrado perfeito.
Exemplo 05) Se possível, fatore o polinômio 36 - 132p
6n + 121p
12n
O polinômio possui dois termos quadrados 36 e 121p
12n, e cujas raízes
quadradas são, respectivamente, 6 e 11
6n. O dobro do produto entre essas
raízes é exatamente igual ao terceiro termo 132p
6n.
E dessa forma o polinômio 36 - 132p
6n + 121p
12n é um trinômio quadrado
perfeito e pode, portanto, ser fatorado.
A raiz quadrada do primeiro termo quadrado é 6, a raiz do segundo termo
quadrado é 11p
6n e o sinal que os une será o sinal do terceiro termo - 132p
6n,
Dessa forma, teremos : 36 - 132p
6n + 121p
12n = ( 6 - 11p
6n)
2
.
| Terceiro Caso de Fatoração : Diferença de Dois Quadrados |
Já aprendemos em produtos notáveis que :
(a + b) (a - b) = a
2 - b
2
O que faremos agora é transformarmos a diferença algébrica a
2 - b
2 em sua forma
fatorada (a + b) (a - b). E para tal precisamos extrair as raízes quadradas de ambos
os termos e montarmos com essas raízes a sua soma multiplicada por sua diferença.
Exemplo 06) Fatore o binômio 64x
2 - 25y
8
O binômio é uma diferença de dois quadrados 64x
2 e 25y
8, e cujas raízes
quadradas são, respectivamente, 8x e 5y
4.
Montando a soma (8x + 5y
4) e a diferença (8x - 5y
4) e as multiplicando, teremos
nossa fatoração concluída.
Assim : 64x
2 - 25y
8 = (8x + 5y
4) (8x - 5y
4)
Exemplo 07) Fatore 81 - 0,49k
6
O binômio é uma diferença de dois quadrados 81 e 0,49k
6, e cujas raízes
quadradas são, respectivamente, 9 e 0,7k
3.
Montando a soma (9 + 0,7k
3) e a diferença (9 - 0,7k
3) e as multiplicando,
teremos nossa fatoração concluída.
Assim : 81 - 0,49k
6 = (9 + 0,7k
3) (9 - 0,7k
3)
Veja que interessante: Já sabemos que 49 - 25 = 24.
Vamos fazer essa diferença entre dois quadrados utilizando a fatoração,
que acabamos de aprender: 49 - 25 = (7 + 5) ( 7 - 5 ) = 12 x 2 = 24
( deu, é claro, o mesmo resultado )
.
| Quarto Caso de Fatoração : Trinômio de Stevin |
Já aprendemos em produtos notáveis que :
(a + b) (a + c) = a
2 + (b + c)a + bc, que podemos escrever como : a
2 + Sa + P, onde S é a soma dos termos não comuns e P o
seu produto.
O que faremos agora é transformarmos a soma algébrica a
2 + Sa + P em sua forma fatorada (a + b) (a + c).
E para tal precisamos extrair a raiz quadrada do termo quadrado e descobrirmos dois número cuja soma seja S e cujo produto
seja P. e verificarmos se a soma aparece multiplica pela raiz quadrada do termo comum.
Só com alguns exemplos poderemos entender melhor esse tipo de fatoração. Vamos a eles.
Exemplo 08) Fatore o trinômio k
2 + 8k + 15
Extraindo a raiz quadrada do termo quadrado k
2, teremos k. Vamos descobrir agora dois números que somados sejam iguais a
8 e multiplicados sejam iguais a 15. Esses números serão 3 e 5, já que: 3 + 5 = 8 e 3 x 5 = 15. Percebemos, também, que a soma
8 aparece multiplicada pela raiz quadrada k de k
2.
Assim : k
2 + 8k + 15 = (k + 3) (k + 5)
Exemplo 09) Fatore o trinômio m
4 - 6m
2 + 8
Extraindo a raiz quadrada do termo quadrado m
4, teremos m2. Vamos descobrir agora dois números que somados sejam iguais
a - 6 e multiplicados sejam iguais a 8. Esses números serão - 2 e - 4 , já que: - 2 + - 4 = - 6 e (- 2) x (- 4) = + 8. Percebemos,
também, que a soma - 6 aparece multiplicada pela raiz quadrada m
2 de m
4.
Assim : m
4 - 6m
2 + 8 = (m
2 - 2) (m
2 - 4)
Exemplo 10) Fatore o trinômio 25y
6 + 20y
3 - 21
Extraindo a raiz quadrada do termo quadrado 25y
6, teremos 5y
3. Vamos descobrir agora dois números que somados sejam iguais
a + 4, lembremos que a raiz de 9y6, está presente nesse termo, assim, 20y
3 : 5y
3 = 4 e multiplicados sejam iguais a - 21.
Esses números serão - 3 e + 7 , já que: - 3 + 7 = 4 e (- 3) x (+ 7) = - 21. Percebemos, como já vimos, que a soma + 4 aparece
multiplicada pela raiz quadrada 5y3 de 25y
6.
Assim : 25y
6 + 20y
3 - 21 = (5y
3 + 7) (5y
3 - 3)
Exemplo 11) Fatore o trinômio 4p
8 - 8p
4a - 5a
2
Extraindo a raiz quadrada do termo quadrado 4p
8, teremos 2p
4. Vamos descobrir agora dois números que somados sejam iguais
a - 4a, lembremos que a raiz de 4p8, está presente nesse termo, assim, - 8p4a : 2p
4 = 4a e multiplicados sejam iguais a - 5a
2.
Esses números serão - 5a e + 1a , já que: - 5a + 1a = 4a e (- 5a) x (+ a) = - 5a
2. Percebemos, como já vimos, que a soma + 4a
aparece multiplicada pela raiz quadrada 2p
4 de 4p
8.
Assim : 4p
8 - 8p
4a - 5a
2 = (2p
4 + a) (2p
4 - 5a)
.
| Quinto Caso de Fatoração : Soma de Dois Cubos |
Um binômio soma da forma x
3 + y
3 pode ser fatorado em um produto da forma:
x
3 + y
3 = (x + y) ( x
2 - xy + y
2)
A melhor forma para fatorarmos uma soma de dois cubos é compreendermos que um dos fatores será a soma das raízes cúbicas
dos termos cúbicos originais, e a partir dele, montarmos o outro fator que será o quadrado do primeiro menos o produto entre
o primeiro e o segundo mais ( sempre mais ) o quadrado do segundo. Só praticando entenderemos esse caso fatoração.
Exemplo 12) Fatore a soma de dois cubos 8p
6 + 125
Como ambos são termos cúbicos, essa soma poderá ser fatorada.
A raiz cúbica de 8p
6 é 2p
2 e a raiz cúbica de 125 é 5. Assim já temos o nosso primeiro fator (2p
2 + 5)
A partir dele montaremos o nosso segundo fator. O quadrado de 2p
2 é 4p
4 ; o produto entre 2p
2 e 5 é 10p
2 e o quadrado do
segundo é 5
2 = 25. E dessa forma, teremos:
8p
6 + 125 = (2p
2 + 5) ( 4p
4 - 10p
2 + 25)
Exemplo 13) Fatore 27x
3y
9 + 64z
6
Como ambos são termos cúbicos, essa soma poderá ser fatorada.
A raiz cúbica de 27x
3y
9 é 3xy
3 e a raiz cúbica de 64z
6 é 4z
3.
Assim já temos o nosso primeiro fator (3xy
3 + 4z
2)
A partir dele montaremos o nosso segundo fator. O quadrado de 3xy
3 é 9x
2y
6 ; o produto entre 3xy
3 e 4z
2 é 12xy
3z
2 e o quadrado
do segundo é (4z
2)
2 = 16z
4.
E dessa forma, teremos: 27x
3y
9 + 64z
6 = (3xy
3 + 4z
2) (9x
2y
6 - 12xy
3z
2 + 16z
4)
.
| Sexto Caso de Fatoração : Diferença de Dois Cubos |
Um binômio diferença da forma x
3 - y
3 pode ser fatorado em um produto da forma:
x
3 - y
3 = (x - y)( x
2 + xy + y
2)
A melhor forma para fatorarmos uma diferença de dois cubos é compreendermos que um dos fatores será a diferença das
raízes cúbicas dos termos cúbicos originais, e a partir dele, montarmos o outro fator que será o quadrado do primeiro
mais o produto entre o primeiro e o segundo mais ( sempre mais ) o quadrado do segundo. Só praticando, entenderemos
esse caso fatoração.
Exemplo 14) Fatore a diferença de dois cubos 216p3 - 125m6
Como ambos são termos cúbicos, essa diferença poderá ser fatorada.
A raiz cúbica de 216p3 é 6p e a raiz cúbica de 125 m
6 é 5m
2. Assim já temos o nosso primeiro fator (6p - 5m
2)
A partir dele montaremos o nosso segundo fator. O quadrado de 6p é 36p2 ; o produto entre 6p e 5m2 é 30pm2 e o quadrado
do segundo é (5m
2)
2 = 25m
4.
E dessa forma, teremos: 216p
3 - 125m
6 = (6p - 5m
2) ( 36p
2 + 30pm
2 + 25m
4)
.
| Sétimo Caso de Fatoração : Agrupamento |
Quando em um polinômio dois ou mais termos possuem um termo comum que evidenciado faz aparecer um termo comum à
fatoração dos demais termos. Só com alguns exemplos podemos compreender melhor esse caso de fatoração.
Por essa razão o deixamos como o último caso de fatoração.
Exemplo 15) Fatore o polinômio ac + ad + bc + bd
(1ª resolução )
Se colocarmos, nos dois primeiros termos, o fator comum a em evidência e colocarmos, nos dois últimos termos, o fator comum
b em evidência, teremos :
ac + ad + bc + bd = a(c + d) + b( c + d). E colocando o novo fator comum (c + d) em evidência, teremos :
ac + ad + bc + bd = a(c + d) + b(c + d) = (c + d) (a + b)
Exemplo 16) Fatore o polinômio ac + ad + bc + bd
(2ª resolução )
Vamos agrupar agora o primeiro e o terceiro termo e, também, o segundo e o quarto termo.
ac + ad + bc + bd = ac + bc + ad + bd
Se colocarmos, nos dois primeiros termos, o fator comum c em evidência e colocarmos, nos dois últimos termos, o fator comum
d em evidência, teremos :
ac + bc + ad + bd = c(a + b) + d(a + b)
E colocando o novo fator comum (a + b) em evidência, teremos :
ac + bc + ad + bd = c(a + b) + d(a + b) = (a + b) (c + d)
Exemplo 17) Fatore o polinômio 2am + an - 6bm - 3bn
Se colocarmos, nos dois primeiros termos, o fator comum a em evidência e colocarmos, nos dois últimos termos, o fator comum
- 3b em evidência, teremos :
2am + an - 6bm - 3bn = a(2m + n) - 3b(2m + n).
E colocando o novo fator comum (2m + n) em evidência, teremos :
2am + an - 6bm - 3bn = a(2m + n) - 3b(2m + n) = (2m + n) (a - 3b)
Exemplo 18) Fatore 3a
2x - 2b
2 + 2a
2 - 3b
2x
Reagrupando o polinômio, teremos : 3a
2x - 3b
2x + 2a
2 - 2b
2
Se colocarmos, nos dois primeiros termos, o fator comum 3x em evidência e colocarmos, nos dois últimos termos, o fator
comum 2 em evidência, teremos :
3a
2x - 3b
2x + 2a
2 - 2b
2 = 3x(a
2 - b
2) - 2(a
2 - b
2)
E colocando o novo fator comum (a
2 - b
2) em evidência, teremos :
3a
2x - 3b
2x + 2a
2 - 2b
2 = 3x(a
2 - b
2) - 2(a
2 - b
2) = (a
2 - b
2) (3x - 2)
E como o fator (a
2 - b
2) é fatorável e igual a (a + b) (a - b), teremos, finalmente :
3a
2x - 3b
2x + 2a
2 - 2b
2 = 3x(a
2 - b
2) - 2(a
2 - b
2) = (a
2 - b
2) (3x - 2) = (a + b) (a - b) (3x - 2)
Com isso, apresentamos os mais importantes casos de fatoração. Alguns exercícios resolvidos e um pouco mais complexos,
nos ajudarão no entendimento desse assunto da Álgebra, que é um dos que mais dificuldades apresenta aos alunos.
| Fatoração Algébrica - Exercícios Propostos |
| Resposta dos Exercícios Propostos de Fatoração Algébrica |
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