sexta-feira, 11 de maio de 2012

Fatoração

Fatoração Algébrica

Casos Simples de Fatoração Algébrica
Como já aprendemos na Aritmética, todo número, não primo, pode ser decomposto em um produto de fatores primos. Assim, tem-se: 30 = 2 X 3 X 5 ; 72 = 8 x 9 = 2 x 2 x 2 x 3 x 3 = 23 x 32 Da mesma forma, podemos decompor algumas expressões algébricas em fatores. Assim, por exemplo : a2 - b2 = (a+b) (a - b) ; a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 ; 12a2b3 - 18ab2 = 6ab2(2ab - 3) O processo pelo qual transformamos uma adição algébrica em um produto algébrico denominamos fatoração algébrica, ou simplesmente, fatoração. No estudo da fatoração são conhecidos vários casos. Vamos estudá-los, classificando-os, para uma melhor compreensão.
Primeiro Caso de Fatoração : Evidenciação
Consideremos o polinômio 6ax2 - 4ax3 + 2ax, que pode ser escrito como : (2ax).(3x) - (2ax).(2x) + (2ax).(1). Percebemos que o fator 2ax esta presente em todos os termos do polinômio. 2ax é o fator comum e deverá ser colocado em evidência. Assim : 6ax2 - 4ax3 + 2ax = (2ax) (3x - 2x2 + 1) Exemplo 01) Fatorar o polinômio 7m2p4 - 14m3p2 + 21m4p3 Colocando o fator comum 7m2p2 em evidência, teremos : 7m2p4 - 14m3p2 + 21m4p3 = 7m2p2 ( p2 - 2m + 3m2p) Exemplo 02) Fatorar o polinômio 2m3(a - b) + 8m2( a - b) Colocando o fator comum 2m2(a - b) em evidência, teremos : 2m3(a - b) + 8m2( a - b ) = [2m2(a - b)] ( m + 4) = 2m2(a - b)( m + 4) .
Segundo Caso de Fatoração : Trinômio Quadrado Perfeito
Já aprendemos em produtos notáveis que : (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 e (a - b)2 = a2 - 2ab + b2 O que faremos agora é transformarmos a soma algébrica a2 ± 2ab + b2 em sua forma fatorada (a ± b)2. E para tal precisamos compreender que um trinômio será quadrado perfeito quando possuir dois de seus três termos quadrados e o terceiro sendo igual ao dobro do produto entre as raízes quadradas dos termos quadrados. Exemplo 03) Se possível, fatore o polinômio 4m2 + 12mn2 + 9n4 O polinômio possui dois termos quadrados 4m2 e 9n4, e cujas raízes quadradas são, respectivamente, 2m e 3n2. O dobro do produto entre essas raízes é exatamente igual ao terceiro termo 12mn2. E dessa forma o polinômio 4m2 + 12mn2 + 9n4 é um trinômio quadrado perfeito e pode, portanto ser fatorado. A raiz quadrada do primeiro termo quadrado é 2m, a raiz do segundo termo quadrado é 3n2 e o sinal que os une será o sinal do terceiro termo + 12mn2. Dessa forma, teremos : 4m2 + 12mn2 + 9n4 = ( 2m + 3n2)2 Exemplo 04) Se possível, fatore o polinômio 16x4 + 36x2y3 + 25y6 O polinômio possui dois termos quadrados 16x4 e 25y6, e cujas raízes quadradas são, respectivamente, 4x2 e 5y3. O dobro do produto entre essas raízes é igual a 40x2y3 que é diferente do terceiro termo 36x2y3. E dessa forma o polinômio 16x4 + 36x2y3 + 25y6 não é um trinômio quadrado perfeito e não pode, portanto, ser fatorado, pelo menos como um trinômio quadrado perfeito. Exemplo 05) Se possível, fatore o polinômio 36 - 132p6n + 121p12n O polinômio possui dois termos quadrados 36 e 121p12n, e cujas raízes quadradas são, respectivamente, 6 e 116n. O dobro do produto entre essas raízes é exatamente igual ao terceiro termo 132p6n. E dessa forma o polinômio 36 - 132p6n + 121p12n é um trinômio quadrado perfeito e pode, portanto, ser fatorado. A raiz quadrada do primeiro termo quadrado é 6, a raiz do segundo termo quadrado é 11p6n e o sinal que os une será o sinal do terceiro termo - 132p6n, Dessa forma, teremos : 36 - 132p6n + 121p12n = ( 6 - 11p6n)2 .
Terceiro Caso de Fatoração : Diferença de Dois Quadrados
Já aprendemos em produtos notáveis que : (a + b) (a - b) = a2 - b2 O que faremos agora é transformarmos a diferença algébrica a2 - b2 em sua forma fatorada (a + b) (a - b). E para tal precisamos extrair as raízes quadradas de ambos os termos e montarmos com essas raízes a sua soma multiplicada por sua diferença. Exemplo 06) Fatore o binômio 64x2 - 25y8 O binômio é uma diferença de dois quadrados 64x2 e 25y8, e cujas raízes quadradas são, respectivamente, 8x e 5y4. Montando a soma (8x + 5y4) e a diferença (8x - 5y4) e as multiplicando, teremos nossa fatoração concluída. Assim : 64x2 - 25y8 = (8x + 5y4) (8x - 5y4) Exemplo 07) Fatore 81 - 0,49k6 O binômio é uma diferença de dois quadrados 81 e 0,49k6, e cujas raízes quadradas são, respectivamente, 9 e 0,7k3. Montando a soma (9 + 0,7k3) e a diferença (9 - 0,7k3) e as multiplicando, teremos nossa fatoração concluída. Assim : 81 - 0,49k6 = (9 + 0,7k3) (9 - 0,7k3) Veja que interessante: Já sabemos que 49 - 25 = 24. Vamos fazer essa diferença entre dois quadrados utilizando a fatoração, que acabamos de aprender: 49 - 25 = (7 + 5) ( 7 - 5 ) = 12 x 2 = 24 ( deu, é claro, o mesmo resultado ) .
Quarto Caso de Fatoração : Trinômio de Stevin
Já aprendemos em produtos notáveis que : (a + b) (a + c) = a2 + (b + c)a + bc, que podemos escrever como : a2 + Sa + P, onde S é a soma dos termos não comuns e P o seu produto. O que faremos agora é transformarmos a soma algébrica a2 + Sa + P em sua forma fatorada (a + b) (a + c). E para tal precisamos extrair a raiz quadrada do termo quadrado e descobrirmos dois número cuja soma seja S e cujo produto seja P. e verificarmos se a soma aparece multiplica pela raiz quadrada do termo comum. Só com alguns exemplos poderemos entender melhor esse tipo de fatoração. Vamos a eles. Exemplo 08) Fatore o trinômio k2 + 8k + 15 Extraindo a raiz quadrada do termo quadrado k2, teremos k. Vamos descobrir agora dois números que somados sejam iguais a 8 e multiplicados sejam iguais a 15. Esses números serão 3 e 5, já que: 3 + 5 = 8 e 3 x 5 = 15. Percebemos, também, que a soma 8 aparece multiplicada pela raiz quadrada k de k2. Assim : k2 + 8k + 15 = (k + 3) (k + 5) Exemplo 09) Fatore o trinômio m4 - 6m2 + 8 Extraindo a raiz quadrada do termo quadrado m4, teremos m2. Vamos descobrir agora dois números que somados sejam iguais a - 6 e multiplicados sejam iguais a 8. Esses números serão - 2 e - 4 , já que: - 2 + - 4 = - 6 e (- 2) x (- 4) = + 8. Percebemos, também, que a soma - 6 aparece multiplicada pela raiz quadrada m2 de m4. Assim : m4 - 6m2 + 8 = (m2 - 2) (m2 - 4) Exemplo 10) Fatore o trinômio 25y6 + 20y3 - 21 Extraindo a raiz quadrada do termo quadrado 25y6, teremos 5y3. Vamos descobrir agora dois números que somados sejam iguais a + 4, lembremos que a raiz de 9y6, está presente nesse termo, assim, 20y3 : 5y3 = 4 e multiplicados sejam iguais a - 21. Esses números serão - 3 e + 7 , já que: - 3 + 7 = 4 e (- 3) x (+ 7) = - 21. Percebemos, como já vimos, que a soma + 4 aparece multiplicada pela raiz quadrada 5y3 de 25y6. Assim : 25y6 + 20y3 - 21 = (5y3 + 7) (5y3 - 3) Exemplo 11) Fatore o trinômio 4p8 - 8p4a - 5a2 Extraindo a raiz quadrada do termo quadrado 4p8, teremos 2p4. Vamos descobrir agora dois números que somados sejam iguais a - 4a, lembremos que a raiz de 4p8, está presente nesse termo, assim, - 8p4a : 2p4 = 4a e multiplicados sejam iguais a - 5a2. Esses números serão - 5a e + 1a , já que: - 5a + 1a = 4a e (- 5a) x (+ a) = - 5a2. Percebemos, como já vimos, que a soma + 4a aparece multiplicada pela raiz quadrada 2p4 de 4p8. Assim : 4p8 - 8p4a - 5a2 = (2p4 + a) (2p4 - 5a) .
Quinto Caso de Fatoração : Soma de Dois Cubos
Um binômio soma da forma x3 + y3 pode ser fatorado em um produto da forma: x3 + y3 = (x + y) ( x2 - xy + y2) A melhor forma para fatorarmos uma soma de dois cubos é compreendermos que um dos fatores será a soma das raízes cúbicas dos termos cúbicos originais, e a partir dele, montarmos o outro fator que será o quadrado do primeiro menos o produto entre o primeiro e o segundo mais ( sempre mais ) o quadrado do segundo. Só praticando entenderemos esse caso fatoração. Exemplo 12) Fatore a soma de dois cubos 8p6 + 125 Como ambos são termos cúbicos, essa soma poderá ser fatorada. A raiz cúbica de 8p6 é 2p2 e a raiz cúbica de 125 é 5. Assim já temos o nosso primeiro fator (2p2 + 5) A partir dele montaremos o nosso segundo fator. O quadrado de 2p2 é 4p4 ; o produto entre 2p2 e 5 é 10p2 e o quadrado do segundo é 52 = 25. E dessa forma, teremos: 8p6 + 125 = (2p2 + 5) ( 4p4 - 10p2 + 25) Exemplo 13) Fatore 27x3y9 + 64z6 Como ambos são termos cúbicos, essa soma poderá ser fatorada. A raiz cúbica de 27x3y9 é 3xy3 e a raiz cúbica de 64z6 é 4z3. Assim já temos o nosso primeiro fator (3xy3 + 4z2) A partir dele montaremos o nosso segundo fator. O quadrado de 3xy3 é 9x2y6 ; o produto entre 3xy3 e 4z2 é 12xy3z2 e o quadrado do segundo é (4z2)2 = 16z4. E dessa forma, teremos: 27x3y9 + 64z6 = (3xy3 + 4z2) (9x2y6 - 12xy3z2 + 16z4) .
Sexto Caso de Fatoração : Diferença de Dois Cubos
Um binômio diferença da forma x3 - y3 pode ser fatorado em um produto da forma: x3 - y3 = (x - y)( x2 + xy + y2) A melhor forma para fatorarmos uma diferença de dois cubos é compreendermos que um dos fatores será a diferença das raízes cúbicas dos termos cúbicos originais, e a partir dele, montarmos o outro fator que será o quadrado do primeiro mais o produto entre o primeiro e o segundo mais ( sempre mais ) o quadrado do segundo. Só praticando, entenderemos esse caso fatoração. Exemplo 14) Fatore a diferença de dois cubos 216p3 - 125m6 Como ambos são termos cúbicos, essa diferença poderá ser fatorada. A raiz cúbica de 216p3 é 6p e a raiz cúbica de 125 m6 é 5m2. Assim já temos o nosso primeiro fator (6p - 5m2) A partir dele montaremos o nosso segundo fator. O quadrado de 6p é 36p2 ; o produto entre 6p e 5m2 é 30pm2 e o quadrado do segundo é (5m2)2 = 25m4. E dessa forma, teremos: 216p3 - 125m6 = (6p - 5m2) ( 36p2 + 30pm2 + 25m4) .
Sétimo Caso de Fatoração : Agrupamento
Quando em um polinômio dois ou mais termos possuem um termo comum que evidenciado faz aparecer um termo comum à fatoração dos demais termos. Só com alguns exemplos podemos compreender melhor esse caso de fatoração. Por essa razão o deixamos como o último caso de fatoração. Exemplo 15) Fatore o polinômio ac + ad + bc + bd (1ª resolução ) Se colocarmos, nos dois primeiros termos, o fator comum a em evidência e colocarmos, nos dois últimos termos, o fator comum b em evidência, teremos : ac + ad + bc + bd = a(c + d) + b( c + d). E colocando o novo fator comum (c + d) em evidência, teremos : ac + ad + bc + bd = a(c + d) + b(c + d) = (c + d) (a + b) Exemplo 16) Fatore o polinômio ac + ad + bc + bd (2ª resolução ) Vamos agrupar agora o primeiro e o terceiro termo e, também, o segundo e o quarto termo. ac + ad + bc + bd = ac + bc + ad + bd Se colocarmos, nos dois primeiros termos, o fator comum c em evidência e colocarmos, nos dois últimos termos, o fator comum d em evidência, teremos : ac + bc + ad + bd = c(a + b) + d(a + b) E colocando o novo fator comum (a + b) em evidência, teremos : ac + bc + ad + bd = c(a + b) + d(a + b) = (a + b) (c + d) Exemplo 17) Fatore o polinômio 2am + an - 6bm - 3bn Se colocarmos, nos dois primeiros termos, o fator comum a em evidência e colocarmos, nos dois últimos termos, o fator comum - 3b em evidência, teremos : 2am + an - 6bm - 3bn = a(2m + n) - 3b(2m + n). E colocando o novo fator comum (2m + n) em evidência, teremos : 2am + an - 6bm - 3bn = a(2m + n) - 3b(2m + n) = (2m + n) (a - 3b) Exemplo 18) Fatore 3a2x - 2b2 + 2a2 - 3b2x Reagrupando o polinômio, teremos : 3a2x - 3b2x + 2a2 - 2b2 Se colocarmos, nos dois primeiros termos, o fator comum 3x em evidência e colocarmos, nos dois últimos termos, o fator comum 2 em evidência, teremos : 3a2x - 3b2x + 2a2 - 2b2 = 3x(a2 - b2) - 2(a2 - b2) E colocando o novo fator comum (a2 - b2) em evidência, teremos : 3a2x - 3b2x + 2a2 - 2b2 = 3x(a2 - b2) - 2(a2 - b2) = (a2 - b2) (3x - 2) E como o fator (a2 - b2) é fatorável e igual a (a + b) (a - b), teremos, finalmente : 3a2x - 3b2x + 2a2 - 2b2 = 3x(a2 - b2) - 2(a2 - b2) = (a2 - b2) (3x - 2) = (a + b) (a - b) (3x - 2) Com isso, apresentamos os mais importantes casos de fatoração. Alguns exercícios resolvidos e um pouco mais complexos, nos ajudarão no entendimento desse assunto da Álgebra, que é um dos que mais dificuldades apresenta aos alunos.

Fatoração Algébrica - Exercícios Propostos



Resposta dos Exercícios Propostos de Fatoração Algébrica


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